Copyright © 1994 Depósito legal pp.76-0010 ISSN 0378-1844. INTERCIENCIA 19(4): 163-165


NUMEROS PRIMOS

Carlos Augusto Di Prisco

Editor Asociado  Interciencia

Hace poco tiempo un equipo de investigadores de la compañía Cray, fabricante de supercomputadoras, fue capaz de hallar un número primo de 258.716 dígitos. Para escribir el número completo con todos sus dígitos se necesitarían unas cuantas páginas de esa revisa. Esta noticia, que para muchos puede resultar algo extraña y, para decir lo menos, hasta absurda, dio la vuelta al mundo en los titulares de los periódicos.

En la escuela todos aprendemos lo que son los números primos: un número n es primo si sólo es divisible entre 1 y n mismo. Por ejemplo, 31 es primo, y 99 no lo es. Además, muy posiblemente todos recordemos también un método para determinar si un número dado es o no es primo. La forma más obvia de hacerlo es la siguiente. Dado un número n, vemos si es divisible entre 2, después si es divisible entre 3, etc.. , continuando así hasta llegar a la raíz cuadrada de n. Si no encontramos ningún divisor, podemos afirmar que es primo.

Nada más sencillo. El problema es que este método es muy ineficiente cuando n es un número muy grande, Por ejemplo, para saber si 123456789012345677 es primo tendríamos que hacer aproximadamente mil millones de divisiones. Trate el lector de determinar por este método si el número 2859433-1 es primo (esto es, 2 elevado a la potencia 859433, que es un número par, menos 1). Este, precisamente, es el primo hallado por los matemáticos de Cray.

Determinar si un número dado es o no es primo es uno de los problemas más interesantes de la aritmética. La historia de las matemáticas está salpicada, a través de los siglos, de desarrollos de métodos para determinar primalidad, y en la actualidad, la investigación destinada a producir métodos eficientes para hacerlo es un campo sumamente activo.

Un problema relacionado es el de factorizar un número dado en factores primos. Si probar que un determinado número n muy grande es primo es un problema complicado, hallar los factores primos de n, aún teniendo la seguridad de que o no es primo, es, en general, un problema más difícil todavía que requiere más tiempo de cálculo.

¿Qué importancia puede tener saber que 2859433-1 es primo? Se trata de algo que va mucho más allá de una mera curiosidad intelectual o de un alarde de virtuosismo aritmético. Resulta que en los años recientes se han hecho grandes avances en criptografía mediante el uso de resultados de la teoría de números y, en particular mediante el uso de números primos muy grandes.

La criptografía es el estudio de los sistemas de codificación para la transmisión de mensajes en forma secreta. Un sistema criptográfico funciona usualmente de este modo. El mensaje que se desea trasmitir es codificado mediante una clave secreta, y esta codificación sólo podrá ser descifrada por quien conozca la clave.

Sin embargo, como es bien sabido, con mucho ingenio y tiempo suficiente, ha sido posible burlar códigos secretos y descifrar mensajes trasmitidos usando sistemas de codificación muy sofisticados. La historia de la Segunda Guerra Mundial abunda en anécdotas de este tipo.

Usando números primos muy grandes se ha podido desarrollar sistemas criptográficos llamados de clave pública.

Mediante estos sistemas de codificación, dos personas se pueden transmitir datos con gran seguridad de que un tercero no podrá descifrar los mensajes. El sistema de codificación se basa en conocer un par de números primos muy grandes; el producto de estos números primos se utiliza para codificar la información a ser trasmitida, y la codificación se hace de tal modo que hallar la clave resulta tan difícil como hallar la factorización de ese producto de primos, es decir, hallar los dos números primos grandes usados en la codificación, y esto, como hemos mencionado anteriormente, resulta una labor extremadamente difícil, por no decir imposible, si los números involucrados son muy grandes.

En los sistemas de clave pública se usa una clave para codificar y otra clave para descifrar, y también se puede usar varias claves para cada una de estas operaciones. Así, se puede dar a conocer las claves de codificación (claves públicas) manteniendo secretas las claves para descifrar.

Los sistemas criptográficos a clave pública permiten la trasmisión secreta de mensajes entre varias personas, de modo que la persona A puede enviar un mensaje que sólo puede ser descifrado por la persona B, y otro mensaje que sólo puede ser descifrado por la persona C, cada una de las cuales conoce su propia clave secreta para descifrar. Es más, quien recibe el mensaje puede determinar si quien lo envió fue en realidad la persona A o fue un impostor.

Hacia 1940, el matemático inglés G. H. Hardy se regocijaba pensando que al menos un área de la ciencia (la teoría de números), se mantuviese remotamente alejada de las actividades humanas ordinarias, ya que de esta forma esta ciencia se podía mantener limpia. Cuál no sería su sorpresa si se enterase de que organismos de seguridad del Gobierno de los EE.UU. han intentado controlar la publicación de artículos de investigación sobre teoría de números que contengan información sobre números primos muy grandes. Afortunadamente la American Mathematical Society logro que esta prohibición no fuese establecida, al menos por ahora.

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